Ensembles finis Exemples

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2} - 65$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez ${(x + 4)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} = - 65$

Étape 1.2

Ajoutez $65$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Étape 2

Simplifiez $x^{2} + {(x + 2)}^{2} - {(x + 4)}^{2} + 65$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$x^{2} + (x + 2) (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x (x + 2) + 2 (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} + x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - {(x + 4)}^{2} + 65 = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - ((x + 4) (x + 4)) + 65 = 0$

Étape 2.1.5

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + 65 = 0$

Étape 2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + 65 = 0$

Étape 2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

Étape 2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

Étape 2.1.6.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + 65 = 0$

Étape 2.1.6.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + 65 = 0$

Étape 2.1.6.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 8 x + 16) + 65 = 0$

Étape 2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - (8 x) - 1 \cdot 16 + 65 = 0$

Étape 2.1.8

Simplifiez

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Étape 2.1.8.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 1 \cdot 16 + 65 = 0$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 16 + 65 = 0$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x - 16 + 65$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 0 - 8 x - 16 + 65 = 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $x^{2} + 4 x + 4$ et $0$ .

$x^{2} + 4 x + 4 - 8 x - 16 + 65 = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $8 x$ de $4 x$ .

$x^{2} - 4 x + 4 - 16 + 65 = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x^{2} - 4 x - 12 + 65 = 0$

Étape 2.5

Additionnez $- 12$ et $65$ .

$x^{2} - 4 x + 53 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 53$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 53)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $53$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $212$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 196$ comme $- 1 (196)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (196)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.9

Déplacez $14$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 7 i$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $53$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $212$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 196$ comme $- 1 (196)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (196)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.9

Déplacez $14$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 7 i$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + 7 i$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 53$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 53}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $53$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 212}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $212$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $- 196$ comme $- 1 (196)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (196)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.9

Déplacez $14$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 14 i}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 14 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 7 i$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - 7 i$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + 7 i, 2 - 7 i$